8.3 简单几何体的表面积和体积-新教材人教A版必修第二册练习 (学生版) 人教版
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简单几何体的表面积和体积
1柱体
①棱柱
体积：V=s?(其中?是棱柱的高)
②圆柱
(1)侧面积：S=2πr?
(2)全面积：S=2πr?+2πr2
(3)体积：V=S?=πr2?(其中r为底圆的半径，?为圆柱的高)
2锥体
①棱锥
棱锥体积：V=13S?(其中?为圆柱的高)；
②圆锥
(1)圆锥侧面积：S=πrl
(2)圆锥全面积：S=πr(r+l)(其中r为底圆的半径，l为圆锥母线)
(3)圆锥体积：V=13S?=13πr2?(其中r为底圆的半径，?为圆柱的高)
3台体
①圆台表面积S=π(r'2+r'2+r'l+rl)
其中r'是上底面圆的半径，r是下底面圆的半径，l是母线的长度.
②台体体积V=13(S'+SS'+S)?
其中S,S'分别为上，下底面面积，?为圆台的高.
4球体
面积S=4πR2，体积V=43πR3（其中R为球的半径）
【题型一】几何体的表面积
【典题1】已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AB=2，AA1=3，O为上底面中心．设正四棱柱ABCD－A1B1C1D1与正四棱锥O－A1B1C1D1的侧面积分别为S1，S2，则S2S1=．
【典题2】一个底面半径为2，高为4的圆锥中有一个内接圆柱，该圆柱侧面积的最大值为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．5π
【典题3】一个圆台上、下底面半径分别为r、R，高为?，若其侧面积等于两底面面积之和，则下列关系正确的是( )
A．2?=1R+1rB．1?=1R+1rC．1r=1R+1?D．2R=1r+1?
【题型二】几何体的体积
【典题1】正方形ABCD被对角线BD和以A为圆心，AB为半径的圆弧DB分成三部分，绕AD旋转，所得旋转体的体积V1、V2、V3之比是( )
A．2:1:1B．1:2:1C．1:1:1D．2:2:1
【典题2】如图，圆锥形容器的高为?，圆锥内水面的高为?1，且?1=13?，若将圆锥的倒置，水面高为?2，则?2等于( )
A．23?B．1927?C．363?D．3193?
【典题3】已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S?ABC的体积V=.
【题型三】与球有关的切、接问题
【典题1】已知三棱锥D?ABC的四个顶点在球O的球面上，若AB=AC=BC=DB=DC=1，当三棱锥D－ABC的体积取到最大值时，球O的表面积为（ ）
A.5π3B.2πC.5πD.20π3
【典题2】如图，在一个底面边长为2，侧棱长为10的正四棱锥P－ABCD中，大球O1内切于该四棱锥，小球O2与大球O1及四棱锥的四个侧面相切，则小球O2的体积为．
巩固练习
1(★)如图1所示，一只封闭的圆柱形水桶内盛了半桶水(桶的厚度忽略不计)，圆柱形水桶的底面直径与母线长相等，现将该水桶水平放置后如图2所示，设图1、图2中水所形成的几何体的表面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系是( )
A．S1≤S2B．S1S2D．S1≥S2
2(★)若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为( )
A．πB．3π2C．2π3D．π2
3(★★)某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的(如图)．则该几何体共有个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是cm2．
4(★★)直角梯形的上、下底和不垂直于底的腰的长度之比为123，那么以垂直于底的腰所在的直线为轴，将梯形旋转一周，所得的圆台上、下底面积和侧面面积之比是.
5(★★)如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是.
6(★★)一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4m，侧面展开图的圆心角为2π3，则这个圆锥的体积等于.
7(★★)如图①，一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为a2(如图②)，则图①中的水面高度为.
8(★★★)半径为2的球O内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为.
9(★★★)如图所示，在边长为5+2的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M、N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积与体积分别是与．
10(★★★)已知四面体ABCD的棱长满足AB=AC=BD=CD=2，BC=AD=1，现将四面体ABCD放入一个主视图为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为．
11(★★★)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC是下底面．M是BB1上的点，AB=3，BC=4，AC=5，CC1=7，过三点A、M、C1作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为.
12(★★★)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为．
13(★★★)已知△SAB是边长为2的等边三角形，∠ACB=45°，当三棱锥S－ABC体积最大时，其外接球的表面积为.
14(★★★)如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是．
1柱体
①棱柱
体积：V=s?(其中?是棱柱的高)
②圆柱
(1)侧面积：S=2πr?
(2)全面积：S=2πr?+2πr2
(3)体积：V=S?=πr2?(其中r为底圆的半径，?为圆柱的高)
2锥体
①棱锥
棱锥体积：V=13S?(其中?为圆柱的高)；
②圆锥
(1)圆锥侧面积：S=πrl
(2)圆锥全面积：S=πr(r+l)(其中r为底圆的半径，l为圆锥母线)
(3)圆锥体积：V=13S?=13πr2?(其中r为底圆的半径，?为圆柱的高)
3台体
①圆台表面积S=π(r'2+r'2+r'l+rl)
其中r'是上底面圆的半径，r是下底面圆的半径，l是母线的长度.
②台体体积V=13(S'+SS'+S)?
其中S,S'分别为上，下底面面积，?为圆台的高.
4球体
面积S=4πR2，体积V=43πR3（其中R为球的半径）
【题型一】几何体的表面积
【典题1】已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AB=2，AA1=3，O为上底面中心．设正四棱柱ABCD－A1B1C1D1与正四棱锥O－A1B1C1D1的侧面积分别为S1，S2，则S2S1=．
【典题2】一个底面半径为2，高为4的圆锥中有一个内接圆柱，该圆柱侧面积的最大值为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．5π
【典题3】一个圆台上、下底面半径分别为r、R，高为?，若其侧面积等于两底面面积之和，则下列关系正确的是( )
A．2?=1R+1rB．1?=1R+1rC．1r=1R+1?D．2R=1r+1?
【题型二】几何体的体积
【典题1】正方形ABCD被对角线BD和以A为圆心，AB为半径的圆弧DB分成三部分，绕AD旋转，所得旋转体的体积V1、V2、V3之比是( )
A．2:1:1B．1:2:1C．1:1:1D．2:2:1
【典题2】如图，圆锥形容器的高为?，圆锥内水面的高为?1，且?1=13?，若将圆锥的倒置，水面高为?2，则?2等于( )
A．23?B．1927?C．363?D．3193?
【典题3】已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S?ABC的体积V=.
【题型三】与球有关的切、接问题
【典题1】已知三棱锥D?ABC的四个顶点在球O的球面上，若AB=AC=BC=DB=DC=1，当三棱锥D－ABC的体积取到最大值时，球O的表面积为（ ）
A.5π3B.2πC.5πD.20π3
【典题2】如图，在一个底面边长为2，侧棱长为10的正四棱锥P－ABCD中，大球O1内切于该四棱锥，小球O2与大球O1及四棱锥的四个侧面相切，则小球O2的体积为．
巩固练习
1(★)如图1所示，一只封闭的圆柱形水桶内盛了半桶水(桶的厚度忽略不计)，圆柱形水桶的底面直径与母线长相等，现将该水桶水平放置后如图2所示，设图1、图2中水所形成的几何体的表面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系是( )
A．S1≤S2B．S1S2D．S1≥S2
2(★)若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为( )
A．πB．3π2C．2π3D．π2
3(★★)某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的(如图)．则该几何体共有个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是cm2．
4(★★)直角梯形的上、下底和不垂直于底的腰的长度之比为123，那么以垂直于底的腰所在的直线为轴，将梯形旋转一周，所得的圆台上、下底面积和侧面面积之比是.
5(★★)如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是.
6(★★)一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4m，侧面展开图的圆心角为2π3，则这个圆锥的体积等于.
7(★★)如图①，一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为a2(如图②)，则图①中的水面高度为.
8(★★★)半径为2的球O内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为.
9(★★★)如图所示，在边长为5+2的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M、N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积与体积分别是与．
10(★★★)已知四面体ABCD的棱长满足AB=AC=BD=CD=2，BC=AD=1，现将四面体ABCD放入一个主视图为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为．
11(★★★)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC是下底面．M是BB1上的点，AB=3，BC=4，AC=5，CC1=7，过三点A、M、C1作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为.
12(★★★)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为．
13(★★★)已知△SAB是边长为2的等边三角形，∠ACB=45°，当三棱锥S－ABC体积最大时，其外接球的表面积为.
14(★★★)如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是．
