8.3 简单几何体的表面积和体积-新教材人教A版必修第二册练习 (教师版) 人教版
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文件简介::
简单几何体的表面积和体积
1柱体
①棱柱
体积：V=s?(其中?是棱柱的高)
②圆柱
(1)侧面积：S=2πr?
(2)全面积：S=2πr?+2πr2
(3)体积：V=S?=πr2?(其中r为底圆的半径，?为圆柱的高)
2锥体
①棱锥
棱锥体积：V=13S?(其中?为圆柱的高)；
②圆锥
(1)圆锥侧面积：S=πrl
(2)圆锥全面积：S=πr(r+l)(其中r为底圆的半径，l为圆锥母线)
(3)圆锥体积：V=13S?=13πr2?(其中r为底圆的半径，?为圆柱的高)
3台体
①圆台表面积S=π(r'2+r'2+r'l+rl)
其中r'是上底面圆的半径，r是下底面圆的半径，l是母线的长度.
②台体体积V=13(S'+SS'+S)?
其中S,S'分别为上，下底面面积，?为圆台的高.
4球体
面积S=4πR2，体积V=43πR3（其中R为球的半径）
【题型一】几何体的表面积
【典题1】已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AB=2，AA1=3，O为上底面中心．设正四棱柱ABCD－A1B1C1D1与正四棱锥O－A1B1C1D1的侧面积分别为S1，S2，则S2S1=．
【解析】如图，
正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3，
则正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧面积分别为S1=4×2×3=24；
正四棱锥O－A1B1C1D1的斜高为12+32=10．
∴正四棱锥O－A1B1C1D1的侧面积S2=4×12×2×10=410．
∴S2S1=41024=106．
【点拨】注意侧面积和全面积的区别．
【典题2】一个底面半径为2，高为4的圆锥中有一个内接圆柱，该圆柱侧面积的最大值为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．5π
【解析】
圆锥的底面半径为2，高为4，
∴内接圆柱的底面半径为x时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为2x
因此，内接圆柱的高?=4?2x；
∴圆柱的侧面积为：S=2πx4?2x=4π2x?x20S2D．S1≥S2
【答案】Ｂ
【解析】设圆柱的底面半径为r，图1水的表面积为S1=2πr2+2πrr=4πr2．
对于图2，
上面的矩形的面积的长是2r，宽是2r．则面积是4r2．
曲面展开后的矩形长是πr，宽是2r．则面积是2πr2．
上下底面的面积的和是π×r2．
图2水的表面积S2=4+3πr2．
显然S1AM=3时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AH，
DM=t－3，由等面积，可得12?AD?BM=12?BD?AH，
∴12?t?1=12(t?3)2+1，
∴?=t(3?t)2+1，
∴V=13?12?(23?t)?1?t(3?t)2+1=16?3?(3?t)2(3?t)2+1，t∈(3，23)
综上所述，V=16?3?(3?t)2(3?t)2+1，t∈(0，23)
令m=(3?t)2+1∈[1，2)，则V=16?4?m2m，∴m=1时，Vmax=12．
故答案为12．
1柱体
①棱柱
体积：V=s?(其中?是棱柱的高)
②圆柱
(1)侧面积：S=2πr?
(2)全面积：S=2πr?+2πr2
(3)体积：V=S?=πr2?(其中r为底圆的半径，?为圆柱的高)
2锥体
①棱锥
棱锥体积：V=13S?(其中?为圆柱的高)；
②圆锥
(1)圆锥侧面积：S=πrl
(2)圆锥全面积：S=πr(r+l)(其中r为底圆的半径，l为圆锥母线)
(3)圆锥体积：V=13S?=13πr2?(其中r为底圆的半径，?为圆柱的高)
3台体
①圆台表面积S=π(r'2+r'2+r'l+rl)
其中r'是上底面圆的半径，r是下底面圆的半径，l是母线的长度.
②台体体积V=13(S'+SS'+S)?
其中S,S'分别为上，下底面面积，?为圆台的高.
4球体
面积S=4πR2，体积V=43πR3（其中R为球的半径）
【题型一】几何体的表面积
【典题1】已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AB=2，AA1=3，O为上底面中心．设正四棱柱ABCD－A1B1C1D1与正四棱锥O－A1B1C1D1的侧面积分别为S1，S2，则S2S1=．
【解析】如图，
正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3，
则正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧面积分别为S1=4×2×3=24；
正四棱锥O－A1B1C1D1的斜高为12+32=10．
∴正四棱锥O－A1B1C1D1的侧面积S2=4×12×2×10=410．
∴S2S1=41024=106．
【点拨】注意侧面积和全面积的区别．
【典题2】一个底面半径为2，高为4的圆锥中有一个内接圆柱，该圆柱侧面积的最大值为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．5π
【解析】
圆锥的底面半径为2，高为4，
∴内接圆柱的底面半径为x时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为2x
因此，内接圆柱的高?=4?2x；
∴圆柱的侧面积为：S=2πx4?2x=4π2x?x20S2D．S1≥S2
【答案】Ｂ
【解析】设圆柱的底面半径为r，图1水的表面积为S1=2πr2+2πrr=4πr2．
对于图2，
上面的矩形的面积的长是2r，宽是2r．则面积是4r2．
曲面展开后的矩形长是πr，宽是2r．则面积是2πr2．
上下底面的面积的和是π×r2．
图2水的表面积S2=4+3πr2．
显然S1AM=3时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AH，
DM=t－3，由等面积，可得12?AD?BM=12?BD?AH，
∴12?t?1=12(t?3)2+1，
∴?=t(3?t)2+1，
∴V=13?12?(23?t)?1?t(3?t)2+1=16?3?(3?t)2(3?t)2+1，t∈(3，23)
综上所述，V=16?3?(3?t)2(3?t)2+1，t∈(0，23)
令m=(3?t)2+1∈[1，2)，则V=16?4?m2m，∴m=1时，Vmax=12．
故答案为12．
