8.4 平面与空间点、直线、面之间的位置关系-新教材人教A版必修第二册练习 (学生版) 人教版
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平面与空间点、直线、面之间的位置关系
1平面
无限延展，无边界.
判断一张纸是一个平面(×)；平面ABCD就是四边形ABCD(×)；两个平面可相交于一点(×).
原因均是平面是无限延展的.
2三个基本事实与三个推论
①基本事实1
不共线的三点确定一个平面.
PS“确定”的意思是“有且只有”，过不共线三点的平面有且只有一个，故说确定一个平面.
判断三点确定一个平面(×)；原因是三点未必共线.
用途:用于确定平面.
②基本事实2
如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内.
用途:常用于证明直线在平面内.
③基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
用途:常用于证明线在面内，证明点在线上.
推论1:直线与直线外的一点确定一个平面.
推论2:两条相交直线确定一个平面.
推论3:两条平行直线确定一个平面.
3图形语言，文字语言，符号语言的转化
PS点用大写字母表示，直线用小写字母表示，平面用希腊字母表示.
2空间点，直线，面之间的位置关系
①线线的位置关系
(1)空间直线的位置关系
共面:异面:a∩b=A,a//ba与b异面
(2)平行线的传递公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表述:a//b,b//c?a//c
(3)等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
(4)异面直线:
(i)定义:不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；
(ii)图形语言
符号语言
P?αA∈αa∈αA?α?PA与a异面
②线面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系
l?α在面内l∩α=A相交l//α平行
(2)图形语言
例若直线a在平面M内，直线m平行直线a，则直线m与平面M的位置关系是
答案m//M或者m?M.
③面面的位置关系
(1)平面与平面的位置关系
α//β平行α∩β=a斜交α⊥β垂直
(2)图形语言
【题型一】平面的确定
【典题1】设P表示一个点，a,b表示两条直线，α,β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )．
①P∈a,P∈α?a?α ②a∩b=P,b?β?a?β
③a∥b,a?α,P∈b,P∈α?b?α④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b
A．①②B．②③C．①④D．③④
【典题2】在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．
【题型二】三点共线、三线共点、四点共面
【典题1】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P,Q,R分别在棱AB,BB1,CC1上，且DP，QR相交于点O，求证O,B,C三点共线.
【典题2】如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．
求证:(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．
巩固练习
1(★★)一块蛋糕切三道最多可以切块？
2(★)下列命题正确的是( )
Ａ.经过三点确定一个平面Ｂ.经过一条直线和一个点确定一个平面
Ｃ.四边形确定一个平面Ｄ.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
3(★)以下四个命题中，正确命题的个数是( )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A.0 B.1C.2 D.3
4(★★)空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD=1，则AC的取值范围是________．
5(★★★)如图，已知E、F、G、H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1的中点，证明FE、HG、DC三线共点．
6(★★★)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1，CC1的中点,
求证点D1，E，F，B共面.
【题型三】点、线、面的位置关系
【典题1】分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是( )
Ａ.异面直线Ｂ.相交直线Ｃ.不相交直线Ｄ.不平行直线
【典题2】若直线l不平行于平面a，且l?a，则( )
A.a内所有直线与l异面B.a内不存在与l平行的直线
C.a内存在唯一的直线与l平行D.a内的直线与l都相交
【典题3】如果三个平面将空间分成6个互不重叠的部分，则这三个平面的位置是( )
A．两两相交于三条交线
B．两个平面互相平行，另一平面与它们相交
C．两两相交于同一条直线
D．B中情况或C中情况都可能发生
巩固练习
1(★)在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)
2(★)已知直线m,n,l，若m∥n,n∩l=P，则m与l的位置关系是( )
A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．相交直线或异面直线
3(★)下列命题中正确的个数是()
①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥.
②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行.
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.
④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.
A．0B．1C．2D．3
4(★)平面α与平面β,γ都相交，则这三个平面可能有（ ）
A．1条或2条交线B．2条或3条交线
C．仅2条交线D．1条或2条或3条交线
5(★)若三个平面两两相交，则它们的交线条数是( )
A．1条B．2条C．3条D．1条或3条...
1平面
无限延展，无边界.
判断一张纸是一个平面(×)；平面ABCD就是四边形ABCD(×)；两个平面可相交于一点(×).
原因均是平面是无限延展的.
2三个基本事实与三个推论
①基本事实1
不共线的三点确定一个平面.
PS“确定”的意思是“有且只有”，过不共线三点的平面有且只有一个，故说确定一个平面.
判断三点确定一个平面(×)；原因是三点未必共线.
用途:用于确定平面.
②基本事实2
如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内.
用途:常用于证明直线在平面内.
③基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
用途:常用于证明线在面内，证明点在线上.
推论1:直线与直线外的一点确定一个平面.
推论2:两条相交直线确定一个平面.
推论3:两条平行直线确定一个平面.
3图形语言，文字语言，符号语言的转化
PS点用大写字母表示，直线用小写字母表示，平面用希腊字母表示.
2空间点，直线，面之间的位置关系
①线线的位置关系
(1)空间直线的位置关系
共面:异面:a∩b=A,a//ba与b异面
(2)平行线的传递公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表述:a//b,b//c?a//c
(3)等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
(4)异面直线:
(i)定义:不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；
(ii)图形语言
符号语言
P?αA∈αa∈αA?α?PA与a异面
②线面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系
l?α在面内l∩α=A相交l//α平行
(2)图形语言
例若直线a在平面M内，直线m平行直线a，则直线m与平面M的位置关系是
答案m//M或者m?M.
③面面的位置关系
(1)平面与平面的位置关系
α//β平行α∩β=a斜交α⊥β垂直
(2)图形语言
【题型一】平面的确定
【典题1】设P表示一个点，a,b表示两条直线，α,β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )．
①P∈a,P∈α?a?α ②a∩b=P,b?β?a?β
③a∥b,a?α,P∈b,P∈α?b?α④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b
A．①②B．②③C．①④D．③④
【典题2】在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．
【题型二】三点共线、三线共点、四点共面
【典题1】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P,Q,R分别在棱AB,BB1,CC1上，且DP，QR相交于点O，求证O,B,C三点共线.
【典题2】如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．
求证:(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．
巩固练习
1(★★)一块蛋糕切三道最多可以切块？
2(★)下列命题正确的是( )
Ａ.经过三点确定一个平面Ｂ.经过一条直线和一个点确定一个平面
Ｃ.四边形确定一个平面Ｄ.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
3(★)以下四个命题中，正确命题的个数是( )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A.0 B.1C.2 D.3
4(★★)空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD=1，则AC的取值范围是________．
5(★★★)如图，已知E、F、G、H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1的中点，证明FE、HG、DC三线共点．
6(★★★)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1，CC1的中点,
求证点D1，E，F，B共面.
【题型三】点、线、面的位置关系
【典题1】分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是( )
Ａ.异面直线Ｂ.相交直线Ｃ.不相交直线Ｄ.不平行直线
【典题2】若直线l不平行于平面a，且l?a，则( )
A.a内所有直线与l异面B.a内不存在与l平行的直线
C.a内存在唯一的直线与l平行D.a内的直线与l都相交
【典题3】如果三个平面将空间分成6个互不重叠的部分，则这三个平面的位置是( )
A．两两相交于三条交线
B．两个平面互相平行，另一平面与它们相交
C．两两相交于同一条直线
D．B中情况或C中情况都可能发生
巩固练习
1(★)在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)
2(★)已知直线m,n,l，若m∥n,n∩l=P，则m与l的位置关系是( )
A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．相交直线或异面直线
3(★)下列命题中正确的个数是()
①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥.
②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行.
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.
④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.
A．0B．1C．2D．3
4(★)平面α与平面β,γ都相交，则这三个平面可能有（ ）
A．1条或2条交线B．2条或3条交线
C．仅2条交线D．1条或2条或3条交线
5(★)若三个平面两两相交，则它们的交线条数是( )
A．1条B．2条C．3条D．1条或3条...
