8.4 平面与空间点、直线、面之间的位置关系-新教材人教A版必修第二册练习(教师版) 人教版
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平面与空间点、直线、面之间的位置关系
1平面
无限延展，无边界.
判断一张纸是一个平面(×)；平面ABCD就是四边形ABCD(×)；两个平面可相交于一点(×).
原因均是平面是无限延展的.
2三个基本事实与三个推论
①基本事实1
不共线的三点确定一个平面.
PS“确定”的意思是“有且只有”，过不共线三点的平面有且只有一个，故说确定一个平面.
判断三点确定一个平面(×)；原因是三点未必共线.
用途:用于确定平面.
②基本事实2
如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内.
用途:常用于证明直线在平面内.
③基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
用途:常用于证明线在面内，证明点在线上.
推论1:直线与直线外的一点确定一个平面.
推论2:两条相交直线确定一个平面.
推论3:两条平行直线确定一个平面.
3图形语言，文字语言，符号语言的转化
PS点用大写字母表示，直线用小写字母表示，平面用希腊字母表示.
2空间点，直线，面之间的位置关系
①线线的位置关系
(1)空间直线的位置关系
共面:异面:a∩b=A,a//ba与b异面
(2)平行线的传递公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表述:a//b,b//c?a//c
(3)等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
(4)异面直线:
(i)定义:不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；
(ii)图形语言
符号语言
P?αA∈αa∈αA?α?PA与a异面
②线面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系
l?α在面内l∩α=A相交l//α平行
(2)图形语言
例若直线a在平面M内，直线m平行直线a，则直线m与平面M的位置关系是
答案m//M或者m?M.
③面面的位置关系
(1)平面与平面的位置关系
α//β平行α∩β=a斜交α⊥β垂直
(2)图形语言
【题型一】平面的确定
【典题1】设P表示一个点，a,b表示两条直线，α,β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )．
①P∈a,P∈α?a?α ②a∩b=P,b?β?a?β
③a∥b,a?α,P∈b,P∈α?b?α④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b
A．①②B．②③C．①④D．③④
【解析】对于①当a∩α=P时，P∈a,P∈α，但a?α，①错；
对于②a∩β=P时，②错；
对于③如图，∵a//b,P∈b,∴P?a,∴由直线a与点P确定唯一平面α，
又a∥b，由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,∴β与α重合，∴b?α,故③正确；
对于④P∈α,P∈β?点P是平面α、β的公共点，α∩β=b?线b是平面α、β的交线，而两平面的交点必在其交线上，故④正确．故选D.
【点拨】
①熟悉点、线、面及其之间关系的符号表示；
②判断尽量利用画图进行思考，若要排除选项则举出一反例；
③确定平面的方法---不共线的三点确定一个平面、直线与直线外的一点确定一个平面、两条相交直线确定一个平面、两条平行直线确定一个平面.
【典题2】在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．
【解析】在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点如图所示．
【点拨】
其实就是过三直线A1D1，EF，CD中任一条直线的平面与另外两直线分别交于点M、N，
则直线MN为所求直线，而这样的平面有无数个，则直线MN有无数条.
【题型二】三点共线、三线共点、四点共面
【典题1】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P,Q,R分别在棱AB,BB1,CC1上，且DP，QR相交于点O，求证O,B,C三点共线.
【证明】∵P∈直线AB,D∈直线CD，∴P∈平面ABCD.D∈平面ABCD.
∴直线DP平面ABCD.
又∵O∈直线DP，∴O∈平面ABCD.同理可证，O∈平面BCC1B1.
∵平面ABCD∩平面BCC1B1=直线BC，∴O∈直线BC.
∴O,B,C三点共线.
【点拨】
①本题利用了基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
②证明三点A、B、C共线，一般思路是证明点A在直线BC上.
【典题2】如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．
求证:(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．
【证明】
(1)连接EF,CD1,A1B.
∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF//A1B.
又A1B//D1C,∴EF//CD1，
∴直线EF与直线CD1共面，即E、C、D1、F四点共面．
(2)∵EF//CD1,EF
则由P∈CE,CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA，
∴P∈直线DA∴CE、D1F、DA三线共点．
【点拨】
①证明四点共面可转化为两线共面，即证明两直线必定相交或平行(利用推论2：两相交线确定一个平面和推论3：两条平行直线确定一个平面)；
②证明三线a,b,c共点P，一般思路是
(1)先设两直线a,b相交于点P,再证明点P∈c.
(2)证明a与b相交于点P，c与b相交于点M，再证明两交点P、M重合；
③证明多线共面，首先由其中两直线确定平面，再证其余直线在此平面内.
巩固练习
1(★★)一块蛋糕切三道最多可以切块？
【答案】8
2(★)下列命题正确的是( )
Ａ.经过三点确定一个平面Ｂ.经过一条直线和一个点确定一个平面
Ｃ.四边形确定一个平面Ｄ.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
【答案】D
【解析】对于A,若三点共线时就错了；对于B，若点在直线上，是不能确定一个平面的；对于C，空间四边形就不属于平面...
1平面
无限延展，无边界.
判断一张纸是一个平面(×)；平面ABCD就是四边形ABCD(×)；两个平面可相交于一点(×).
原因均是平面是无限延展的.
2三个基本事实与三个推论
①基本事实1
不共线的三点确定一个平面.
PS“确定”的意思是“有且只有”，过不共线三点的平面有且只有一个，故说确定一个平面.
判断三点确定一个平面(×)；原因是三点未必共线.
用途:用于确定平面.
②基本事实2
如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内.
用途:常用于证明直线在平面内.
③基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
用途:常用于证明线在面内，证明点在线上.
推论1:直线与直线外的一点确定一个平面.
推论2:两条相交直线确定一个平面.
推论3:两条平行直线确定一个平面.
3图形语言，文字语言，符号语言的转化
PS点用大写字母表示，直线用小写字母表示，平面用希腊字母表示.
2空间点，直线，面之间的位置关系
①线线的位置关系
(1)空间直线的位置关系
共面:异面:a∩b=A,a//ba与b异面
(2)平行线的传递公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表述:a//b,b//c?a//c
(3)等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
(4)异面直线:
(i)定义:不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；
(ii)图形语言
符号语言
P?αA∈αa∈αA?α?PA与a异面
②线面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系
l?α在面内l∩α=A相交l//α平行
(2)图形语言
例若直线a在平面M内，直线m平行直线a，则直线m与平面M的位置关系是
答案m//M或者m?M.
③面面的位置关系
(1)平面与平面的位置关系
α//β平行α∩β=a斜交α⊥β垂直
(2)图形语言
【题型一】平面的确定
【典题1】设P表示一个点，a,b表示两条直线，α,β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )．
①P∈a,P∈α?a?α ②a∩b=P,b?β?a?β
③a∥b,a?α,P∈b,P∈α?b?α④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b
A．①②B．②③C．①④D．③④
【解析】对于①当a∩α=P时，P∈a,P∈α，但a?α，①错；
对于②a∩β=P时，②错；
对于③如图，∵a//b,P∈b,∴P?a,∴由直线a与点P确定唯一平面α，
又a∥b，由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,∴β与α重合，∴b?α,故③正确；
对于④P∈α,P∈β?点P是平面α、β的公共点，α∩β=b?线b是平面α、β的交线，而两平面的交点必在其交线上，故④正确．故选D.
【点拨】
①熟悉点、线、面及其之间关系的符号表示；
②判断尽量利用画图进行思考，若要排除选项则举出一反例；
③确定平面的方法---不共线的三点确定一个平面、直线与直线外的一点确定一个平面、两条相交直线确定一个平面、两条平行直线确定一个平面.
【典题2】在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．
【解析】在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点如图所示．
【点拨】
其实就是过三直线A1D1，EF，CD中任一条直线的平面与另外两直线分别交于点M、N，
则直线MN为所求直线，而这样的平面有无数个，则直线MN有无数条.
【题型二】三点共线、三线共点、四点共面
【典题1】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P,Q,R分别在棱AB,BB1,CC1上，且DP，QR相交于点O，求证O,B,C三点共线.
【证明】∵P∈直线AB,D∈直线CD，∴P∈平面ABCD.D∈平面ABCD.
∴直线DP平面ABCD.
又∵O∈直线DP，∴O∈平面ABCD.同理可证，O∈平面BCC1B1.
∵平面ABCD∩平面BCC1B1=直线BC，∴O∈直线BC.
∴O,B,C三点共线.
【点拨】
①本题利用了基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
②证明三点A、B、C共线，一般思路是证明点A在直线BC上.
【典题2】如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．
求证:(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．
【证明】
(1)连接EF,CD1,A1B.
∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF//A1B.
又A1B//D1C,∴EF//CD1，
∴直线EF与直线CD1共面，即E、C、D1、F四点共面．
(2)∵EF//CD1,EF
则由P∈CE,CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA，
∴P∈直线DA∴CE、D1F、DA三线共点．
【点拨】
①证明四点共面可转化为两线共面，即证明两直线必定相交或平行(利用推论2：两相交线确定一个平面和推论3：两条平行直线确定一个平面)；
②证明三线a,b,c共点P，一般思路是
(1)先设两直线a,b相交于点P,再证明点P∈c.
(2)证明a与b相交于点P，c与b相交于点M，再证明两交点P、M重合；
③证明多线共面，首先由其中两直线确定平面，再证其余直线在此平面内.
巩固练习
1(★★)一块蛋糕切三道最多可以切块？
【答案】8
2(★)下列命题正确的是( )
Ａ.经过三点确定一个平面Ｂ.经过一条直线和一个点确定一个平面
Ｃ.四边形确定一个平面Ｄ.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
【答案】D
【解析】对于A,若三点共线时就错了；对于B，若点在直线上，是不能确定一个平面的；对于C，空间四边形就不属于平面...
