空间直线、平面的平行



1线面平行

①直线与直线平行

基本事实4平行于同一条直线的两条直线平行(平行线的传递公理)

符号表述：a//b,b//c?a//c

等角定理如果空间中两个角度两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

②直线与平面平行

(1)定义

直线与平面无交点.

(2)判定定理

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.

(俗说：若a?α，要证明a//α，则在平面α内找一条直线与直线a平行)

符号表述

a//ba?αb?α?a//α(线线平行?线面平行)

(3)性质定理

一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.

符号表述

a//αa?βα∩β=b?a//b(线面平行?线线平行)

(4)证明线面平行的方法

定义法(反证)l∩α=??l//α(用于判断)

判定定理：a//ba?αb?α?a//α(线线平行?线面平行)

α//βa?α?a//β(面面平行?线面平行)

b⊥ab⊥αa?α?a//α

2面面平行

①定义：α∩β=??α//β;

判断

(1)α内有无穷多条直线都与β平行(×)；

(2)α内的任何一条直线都与β平行(√)；

②判定定理

如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；

符号表述：a,b?α,a∩b=O,a//β,b//β?α//β

【如图】



推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.

符号表述：a,b?α,a∩b=O,a',b'?β,a//a',b//b'?α//β

【如图】



③面面平行的性质

a?αα//β?a//β(面面平行?线面平行)

α//βα∩γ=aβ∩γ=b?a//b(面面平行?线线平行)

夹在两个平行平面间的平行线段相等.

④证明面面平行的方法

定义法；

判定定理及推论(常用)







【题型一】线面平行的证明

【典题1】如图所示，在棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E,F,P,Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点.

(1)求证：PQ//平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF//平面BB1D1D.













【典题2】如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M,N分别为PA,BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.

(1)求证：直线MN∥平面PBC；(2)求线段MN的长.

















【题型二】线面平行的性质

【典题1】如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，M、N分别为线段PC、PB上一点，若PM∶MC=3∶1，且AN∥平面BDM，则PN∶NB=( )



A.4∶1B.3∶1C.3∶2D.2∶1



















巩固练习

1(★)如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )



A.相交B.平行C.垂直D.不能确定

2(★)如图所示，P为?ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，PFFC=.



3(★★)如图，在四面体ABCD中，AB=CD=2，AD=BD=3，AC=BC=4，点E，F，G，H分别在棱AD，BD，BC，AC上，若直线AB，CD都平行于平面EFGH，则四边形EFGH面积的最大值是.



4(★★)如图.在四棱锥P－ABCD中.底面ABCD是平行四边形，点M为棱AB上一点AM=2MB.点N为棱PC上一点，

(1)若PN=2NC，求证：MN∥平面PAD；

(2)若MN∥平面PAD，求证：PN=2NC.



5(★★★)如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.

(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH.

(2)若AB=4,CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围.





【题型三】面面平行的证明

【典题1】如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.

(1)求证：BE∥平面DMF；

(2)求证：平面BDE∥平面MNG.









【典题2】如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，

PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．设M，N分别为PD，AD的中点．

(1)求证：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱锥P－ABM的体积．

















【典题3】如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，点P是侧面CDD1C1上的动点，且MP//截面AB1C，则线段MP长度的取值范围是( )

A.2,6B.[6,22]C.[6,23]D.[6,3]



















【题型四】面面平行的性质

【典题1】已知两条直线a，b，两个平面α，β，则下列结论中正确的是( )

A．若a?β，且α∥β，则a∥αB．若b?α，a∥b，则a∥α

C．若a∥β，α∥β，则a∥αD．若b∥α，a∥b，则a∥α





【典题2】已知平面α∥面β，AB、CD为异面线段，AB?α，CD?β，且AB=a，CD=b，AB与CD所成的角为θ，平面γ∥面α，且平面γ与AC、BC、BD、AD分别相交于点M、N、P、Q．

(1)若a=b，求截面四边形MNPQ的周长；

(2)求截面四边形MNPQ面积的最大值．





























巩固练习

1(★)已知直线a?α，给出以下三个命题：

①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；

②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；

③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β．

其中正确的命题是( )

A．②B．③C．①②D．①③

2在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：

①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；

③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1

其中推断正确的序号是( )




A．①③ B．①④ C．②③ D...