空间直线、平面的平行



1线面平行

①直线与直线平行

基本事实4平行于同一条直线的两条直线平行(平行线的传递公理)

符号表述：a//b,b//c?a//c

等角定理如果空间中两个角度两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

②直线与平面平行

(1)定义

直线与平面无交点.

(2)判定定理

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.

(俗说：若a?α，要证明a//α，则在平面α内找一条直线与直线a平行)

符号表述

a//ba?αb?α?a//α(线线平行?线面平行)

(3)性质定理

一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.

符号表述

a//αa?βα∩β=b?a//b(线面平行?线线平行)

(4)证明线面平行的方法

定义法(反证)l∩α=??l//α(用于判断)

判定定理：a//ba?αb?α?a//α(线线平行?线面平行)

α//βa?α?a//β(面面平行?线面平行)

b⊥ab⊥αa?α?a//α

2面面平行

①定义：α∩β=??α//β;

判断

(1)α内有无穷多条直线都与β平行(×)；

(2)α内的任何一条直线都与β平行(√)；

②判定定理

如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；

符号表述：a,b?α,a∩b=O,a//β,b//β?α//β

【如图】



推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.

符号表述：a,b?α,a∩b=O,a',b'?β,a//a',b//b'?α//β

【如图】



③面面平行的性质

a?αα//β?a//β(面面平行?线面平行)

α//βα∩γ=aβ∩γ=b?a//b(面面平行?线线平行)

夹在两个平行平面间的平行线段相等.

④证明面面平行的方法

定义法；

判定定理及推论(常用)







【题型一】线面平行的证明

【典题1】如图所示，在棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E,F,P,Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点.

(1)求证：PQ//平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF//平面BB1D1D.



【解析】(1)如图所示，连接AC，CD1

∵P，Q分别为AD1、AC的中点，

∴PQ//CD1，

∵CD1?平面DCC1D1，PQ?平面DCC1D1，

∴PQ//平面DCC1D1.



(2)由题意，可得：PQ=12D1C=22a

(3)连接QE、D1Q，



∵E、Q分别是BC，BD的中点，∴QE//CD且QE=12CD，

又D1F//CD且QE=12CD，∴D1F=QE,D1F//QE，

∴四边形D1FEQ是平行四边形

∴D1Q//EF

又∵D1Q?平面D1FEQ，EF?平面D1FEQ，

∴EF//平面BB1D1D.

【点拨】

①在立体几何中，遇到中点我们往往会想到中位线；

②证明线面平行的过程中，经常利用三角形的中位线(如第一问)和构造平行四边形的方法(如第三问);

③证明线面平行可转化为证明线线平行或面面平行，本题第三问还有多种方法.



【典题2】如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M,N分别为PA,BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.

(1)求证：直线MN∥平面PBC；(2)求线段MN的长.



【解析】(1)证明连接AN并延长交BC于Q，连接PQ，如图所示.



∵AD∥BQ，∴△QNB∽△AND，

∴NQAN=BNND=BQAD=58，

又∵PMMA=BNND=58，

∴MPAM=NQAN=58，∴MN//PQ，

又∵PQ?平面PBC，MN?平面PBC，

∴MN∥平面PBC.

(2)解在等边△PBC中，∠PBC=60°，

在△PBQ中由余弦定理知

PQ2=PB2+BQ2?2PB·BQcos∠PBQ=132+6582?2×13×658×12=828164，

∴PQ=918，

∵MN∥PQ，MN∶PQ=8∶13，∴MN=918×813=7.

【点拨】

①证明线面平行可转化为线线平行，而本题是利用线段成比例证明线线平行；

②由于线段PA与BD是异面直线，则条件PM∶MA=BN∶ND不太好处理，一般要利用第三个“比例”把PM∶MA和BN∶ND联系起来，本题NQ：AN充当了这个角色;

③处理线段成比例中，要常注意以下几个模型，往往跟相似三角形有关：



比如本题中的△QNB∽△AND就是属于“8字型”.



【题型二】线面平行的性质

【典题1】如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，M、N分别为线段PC、PB上一点，若PM∶MC=3∶1，且AN∥平面BDM，则PN∶NB=( )



A.4∶1B.3∶1C.3∶2D.2∶1

【解析】如图，连接AC交BD于点O，连接CN交BM于点G，

由AN∥平面BDM，可得AN∥OG，(此处是根据线面平行的性质)

∵OA=OC，∴CG=NG，∴G为CN的中点，

作HN∥BM，∴CM=HM，

∵PM∶MC=3：1，∴PH=HC，∴PN∶NB=PH∶HM=2：1，

故选：D.



【点拨】

①题目中出现线面平行AN∥平面BDM，理当想到线面平行的性质；

②线面平行的性质可由线面平行得到线线平行;

③在处理很多比例时，利用“份”的概念，可快速清楚各线段之间比例

比如

(1)中PM∶MC=3∶1，MC∶HM=2：1，则设最短线HM=1(即HM为“1份”)，则MC=2,PM=7，则可得PM∶MC=7：2;

(2)中EF//BC，若AE∶AB=3∶7，设AE=3(即线段AB共“7份”，AE占了“3份”)，则AB=7，BE=4，由于线段成比例，易得类似FC：AC=4：7等比例关系.





巩固练习

1(★)如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )



A.相交B.平行C.垂直D.不能确定

【答案】B

【解析】连结A1C、BC，取A1C的中点Q，A1B的中点P，

连结NQ、PQ、MN，

∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，

∴NQ∥CC1，PQ∥BC，

∵PQ∩NQ=Q，CC1∩BC=C，PQ、NQ?平面PMN，CC1，BC?平面A1BC1，

∴平面PNQ∥平面A1BC1，

∵MN?平面PNQ，∴MN∥平面BB1C1C．

故选：B．



2(★)如图所示，P为?ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，PFFC=.