8.6 空间直线、平面的垂直-新教材人教A版必修第二册练习 (教师版) 人教版
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空间直线、平面的垂直
1线面垂直
①直线与直线垂直
(1)异面直线所成的角
(i)范围:θ∈(0°,90°]；
(ii)作异面直线所成的角:平移法.
如图，在空间任取一点O，过O作a'//a,b'//b，则a',b'所成的θ角为异面直线a,b所成的角.特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点，端点等)上，形成异面直线所成的角.
(2)如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条异面直线相互垂直.
②直线与平面垂直
(1)定义
若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面.
符号表述:若任意a?α都有l⊥a，则l⊥α.
(2)判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
a,b?αa∩b=Ol⊥al⊥b?l⊥α(线线垂直?线面垂直)
(3)性质
(i)l⊥α,a?α?l⊥a(线面垂直?线线垂直)
(ii)垂直同一平面的两直线平行a⊥α,b⊥α?a//b
(4)证明线面垂直的方法
定义法(反证)
判定定理(常用)
a//ba⊥α?b⊥α
α//βa⊥α?a⊥β
α⊥βa∩β=ba?αa⊥b?a⊥β(面面垂直?线面垂直)
③线面所成的角
(1)定义
如下图，平面的一条斜线(直线l)和它在平面上的射影(AO)所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
一条直线垂直平面，则θ=90°；一条直线和平面平行或在平面内，则θ=0°.
(2)范围
直线和平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.
2面面垂直
①二面角
(1)定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
在二面角的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
(2)范围
二面角的平面角α的取值范围是[0°,180°].
②面面垂直
(1)定义
若二面角α?l?β的平面角为90°，则α⊥β；
(2)判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
a?αa⊥β?α⊥β(线面垂直?面面垂直)
(3)性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
α⊥βα∩β=ABa?αa⊥AB?a⊥β(面面垂直?线面垂直)
判断
(1)如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ(√)
(2)如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β(√)
(3)如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β(×)
(4)如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β(√)
【题型一】线面垂直的判定与性质
【典题1】如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F是BE的中点，求证:(1)FD∥平面ABC；(2)AF⊥平面EDB
【证明】(1)∵F分别是BE的中点，取BA的中点M，
∴FM//EA，FM=12EA=a
∵EA、CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA，
∴CD∥FM，又CD=a=FM
∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD∥MC，
又∵FD?平面ABC，MC?平面ABC，∴FD∥平面ABC．
(2)因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB
又EA垂直于平面ABC∴CM⊥AE，
又AE∩AB=A，所以CM⊥面EAB，
∵AF?面EAB∴CM⊥AF，
又CM∥FD，从而FD⊥AF，
因F是BE的中点，EA=AB所以AF⊥EB．
EB，FD是平面EDB内两条相交直线，所以AF⊥平面EDB．
【点拨】
①线面垂直的判定：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直；它可把线面垂直转化为线线垂直，本题中AF⊥平面EDB?在平面EDB上找到两条相交直线均垂直AF；
②线面垂直的性质：l⊥α,a?α?l⊥a；它可由线面垂直得到线线垂直；
③等腰三角形要注意“三线合一”的运用.
【典题2】P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影．
(1)若PA、PB、PC两两互相垂直，则O点是△ABC的心；
(2)若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC内部，则点O是△ABC的心；
(3)若PA⊥BC,PB⊥AC,PC⊥AB，则点O是△ABC的心；
(4)若PA、PB、PC与底面ABC成等角，则点O是△ABC的心．
【解析】如图P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影．
(1)若PA、PB、PC两两互相垂直，由可证得BC⊥OA，AB⊥OC，AC⊥OB，即此时点O是三角形三边高的交点，故此时点O是三角形的垂心，故应填:垂．
(2)若P到△ABC三边的距离相等，E，F，D分别是点P在三个边上的垂足，故可证得OE，OF，OD分别垂直于三边且相等，由内切圆的加心的定义知，此时点O是三角形的内心，故应填:内；
(3)若PA⊥BC，PB⊥AC，因为PO⊥底面ABC，所以AO⊥BC，同理BO⊥AC，可得O是△ABC的垂心；故应填:垂．
(4)若PA、PB、PC与地面ABC成等角，由条件可证得OA=OB=OC，由三角形外心的定义知此时点O是三角形的外心，故应填:外；
综上，三空答案依次应为垂、内、垂、外
【点拨】三角形的四心：
【典题3】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，在折起过程中，有几个正确( )
①ED⊥平面ACD②CD⊥平面BED③BD⊥平面ACD④AD⊥平面BED．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】∵在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E为DC边的中点，
∴设D点在平面BCE上的投影为Q，在折起过程中，点Q的轨迹为下图Q1到Q2的四分之一圆．
此过程中始终有DQ⊥平面AECB
对于①假设ED⊥平面ACD，则ED⊥AC，又∵DQ⊥AC，则AC⊥平面DEQ?QE⊥AC，
但由图可知QE不可能垂直AC，产生了矛盾，故假设不成立，故①错误；
对于②假设CD⊥平面BED，则CD⊥BE，又∵DQ⊥BE，则BE⊥平面CDQ?BE⊥CQ，
但由图可知只有D点投影位于Q2位置时，才有BE⊥CQ，此时CD?平面BED，显然不能满足CD⊥平面BED，产生了矛盾，故假设不成立，故②错误；
对于③假设BD⊥平面ACD,则BD⊥AC，又∵DQ⊥AC，...
1线面垂直
①直线与直线垂直
(1)异面直线所成的角
(i)范围:θ∈(0°,90°]；
(ii)作异面直线所成的角:平移法.
如图，在空间任取一点O，过O作a'//a,b'//b，则a',b'所成的θ角为异面直线a,b所成的角.特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点，端点等)上，形成异面直线所成的角.
(2)如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条异面直线相互垂直.
②直线与平面垂直
(1)定义
若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面.
符号表述:若任意a?α都有l⊥a，则l⊥α.
(2)判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
a,b?αa∩b=Ol⊥al⊥b?l⊥α(线线垂直?线面垂直)
(3)性质
(i)l⊥α,a?α?l⊥a(线面垂直?线线垂直)
(ii)垂直同一平面的两直线平行a⊥α,b⊥α?a//b
(4)证明线面垂直的方法
定义法(反证)
判定定理(常用)
a//ba⊥α?b⊥α
α//βa⊥α?a⊥β
α⊥βa∩β=ba?αa⊥b?a⊥β(面面垂直?线面垂直)
③线面所成的角
(1)定义
如下图，平面的一条斜线(直线l)和它在平面上的射影(AO)所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
一条直线垂直平面，则θ=90°；一条直线和平面平行或在平面内，则θ=0°.
(2)范围
直线和平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.
2面面垂直
①二面角
(1)定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
在二面角的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
(2)范围
二面角的平面角α的取值范围是[0°,180°].
②面面垂直
(1)定义
若二面角α?l?β的平面角为90°，则α⊥β；
(2)判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
a?αa⊥β?α⊥β(线面垂直?面面垂直)
(3)性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
α⊥βα∩β=ABa?αa⊥AB?a⊥β(面面垂直?线面垂直)
判断
(1)如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ(√)
(2)如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β(√)
(3)如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β(×)
(4)如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β(√)
【题型一】线面垂直的判定与性质
【典题1】如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F是BE的中点，求证:(1)FD∥平面ABC；(2)AF⊥平面EDB
【证明】(1)∵F分别是BE的中点，取BA的中点M，
∴FM//EA，FM=12EA=a
∵EA、CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA，
∴CD∥FM，又CD=a=FM
∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD∥MC，
又∵FD?平面ABC，MC?平面ABC，∴FD∥平面ABC．
(2)因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB
又EA垂直于平面ABC∴CM⊥AE，
又AE∩AB=A，所以CM⊥面EAB，
∵AF?面EAB∴CM⊥AF，
又CM∥FD，从而FD⊥AF，
因F是BE的中点，EA=AB所以AF⊥EB．
EB，FD是平面EDB内两条相交直线，所以AF⊥平面EDB．
【点拨】
①线面垂直的判定：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直；它可把线面垂直转化为线线垂直，本题中AF⊥平面EDB?在平面EDB上找到两条相交直线均垂直AF；
②线面垂直的性质：l⊥α,a?α?l⊥a；它可由线面垂直得到线线垂直；
③等腰三角形要注意“三线合一”的运用.
【典题2】P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影．
(1)若PA、PB、PC两两互相垂直，则O点是△ABC的心；
(2)若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC内部，则点O是△ABC的心；
(3)若PA⊥BC,PB⊥AC,PC⊥AB，则点O是△ABC的心；
(4)若PA、PB、PC与底面ABC成等角，则点O是△ABC的心．
【解析】如图P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影．
(1)若PA、PB、PC两两互相垂直，由可证得BC⊥OA，AB⊥OC，AC⊥OB，即此时点O是三角形三边高的交点，故此时点O是三角形的垂心，故应填:垂．
(2)若P到△ABC三边的距离相等，E，F，D分别是点P在三个边上的垂足，故可证得OE，OF，OD分别垂直于三边且相等，由内切圆的加心的定义知，此时点O是三角形的内心，故应填:内；
(3)若PA⊥BC，PB⊥AC，因为PO⊥底面ABC，所以AO⊥BC，同理BO⊥AC，可得O是△ABC的垂心；故应填:垂．
(4)若PA、PB、PC与地面ABC成等角，由条件可证得OA=OB=OC，由三角形外心的定义知此时点O是三角形的外心，故应填:外；
综上，三空答案依次应为垂、内、垂、外
【点拨】三角形的四心：
【典题3】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，在折起过程中，有几个正确( )
①ED⊥平面ACD②CD⊥平面BED③BD⊥平面ACD④AD⊥平面BED．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】∵在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E为DC边的中点，
∴设D点在平面BCE上的投影为Q，在折起过程中，点Q的轨迹为下图Q1到Q2的四分之一圆．
此过程中始终有DQ⊥平面AECB
对于①假设ED⊥平面ACD，则ED⊥AC，又∵DQ⊥AC，则AC⊥平面DEQ?QE⊥AC，
但由图可知QE不可能垂直AC，产生了矛盾，故假设不成立，故①错误；
对于②假设CD⊥平面BED，则CD⊥BE，又∵DQ⊥BE，则BE⊥平面CDQ?BE⊥CQ，
但由图可知只有D点投影位于Q2位置时，才有BE⊥CQ，此时CD?平面BED，显然不能满足CD⊥平面BED，产生了矛盾，故假设不成立，故②错误；
对于③假设BD⊥平面ACD,则BD⊥AC，又∵DQ⊥AC，...
