8.6 空间直线、平面的垂直-新教材人教A版必修第二册练习(学生版) 人教版
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文件简介::
空间直线、平面的垂直
1线面垂直
①直线与直线垂直
(1)异面直线所成的角
(i)范围:θ∈(0°,90°]；
(ii)作异面直线所成的角:平移法.
如图，在空间任取一点O，过O作a'//a,b'//b，则a',b'所成的θ角为异面直线a,b所成的角.特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点，端点等)上，形成异面直线所成的角.
(2)如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条异面直线相互垂直.
②直线与平面垂直
(1)定义
若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面.
符号表述:若任意a?α都有l⊥a，则l⊥α.
(2)判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
a,b?αa∩b=Ol⊥al⊥b?l⊥α(线线垂直?线面垂直)
(3)性质
(i)l⊥α,a?α?l⊥a(线面垂直?线线垂直)
(ii)垂直同一平面的两直线平行a⊥α,b⊥α?a//b
(4)证明线面垂直的方法
定义法(反证)
判定定理(常用)
a//ba⊥α?b⊥α
α//βa⊥α?a⊥β
α⊥βa∩β=ba?αa⊥b?a⊥β(面面垂直?线面垂直)
③线面所成的角
(1)定义
如下图，平面的一条斜线(直线l)和它在平面上的射影(AO)所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
一条直线垂直平面，则θ=90°；一条直线和平面平行或在平面内，则θ=0°.
(2)范围
直线和平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.
2面面垂直
①二面角
(1)定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
在二面角的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
(2)范围
二面角的平面角α的取值范围是[0°,180°].
②面面垂直
(1)定义
若二面角α?l?β的平面角为90°，则α⊥β；
(2)判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
a?αa⊥β?α⊥β(线面垂直?面面垂直)
(3)性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
α⊥βα∩β=ABa?αa⊥AB?a⊥β(面面垂直?线面垂直)
判断
(1)如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ(√)
(2)如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β(√)
(3)如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β(×)
(4)如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β(√)
【题型一】线面垂直的判定与性质
【典题1】如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F是BE的中点，求证:(1)FD∥平面ABC；(2)AF⊥平面EDB
【典题2】P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影．
(1)若PA、PB、PC两两互相垂直，则O点是△ABC的心；
(2)若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC内部，则点O是△ABC的心；
(3)若PA⊥BC,PB⊥AC,PC⊥AB，则点O是△ABC的心；
(4)若PA、PB、PC与底面ABC成等角，则点O是△ABC的心．
【典题3】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，在折起过程中，有几个正确( )
①ED⊥平面ACD②CD⊥平面BED③BD⊥平面ACD④AD⊥平面BED．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型二】面面垂直的判定与性质
【典题1】如图，已知四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD
【典题2】如图，直角△ABC中，∠ACB=90°，BC=2AC=4，D、E分别是AB、BC边的中点，沿DE将△BDE折起至△FDE，且∠CEF=60°．
(Ⅰ)求四棱锥F－ADEC的体积；(Ⅱ)求证:平面ADF⊥平面ACF．
【典题3】长方形ABCD中，AB=2，BC=1，F是线段DC上一动点，且0
A．43B．34C．13D．14
巩固练习
1(★★)如图：PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论①AE⊥BC，②AE⊥PB，③AF⊥BC，④AE⊥平面PBC，其中正确命题的序号是( )
A．①②B．①③C．①②④D．①③④
2(★★)PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB,PC,PD,AC,BD，则下列垂直关系正确的是（ ）
①面PAB⊥面PBC②面PAB⊥面PAD③面PAB⊥面PCD④面PAB⊥面PAC．
A．①②B．①③C．②③D．②④
3(★★)已知边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，现将△AED沿DE翻折为△A'ED，如图是翻折过程中的一个图形，则下列四个结论：
①动直线A'F与直线DE互相垂直；②恒有平面A'GF⊥平面BCED；
③四棱锥A'－BCED的体积有最大值；④三棱锥A'－DEF的侧面积没有最大值．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4(★★)如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A,B是定点，则动点C的轨迹是( )
A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点
5(★★)如图，已知平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA?β，C...
1线面垂直
①直线与直线垂直
(1)异面直线所成的角
(i)范围:θ∈(0°,90°]；
(ii)作异面直线所成的角:平移法.
如图，在空间任取一点O，过O作a'//a,b'//b，则a',b'所成的θ角为异面直线a,b所成的角.特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点，端点等)上，形成异面直线所成的角.
(2)如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条异面直线相互垂直.
②直线与平面垂直
(1)定义
若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面.
符号表述:若任意a?α都有l⊥a，则l⊥α.
(2)判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
a,b?αa∩b=Ol⊥al⊥b?l⊥α(线线垂直?线面垂直)
(3)性质
(i)l⊥α,a?α?l⊥a(线面垂直?线线垂直)
(ii)垂直同一平面的两直线平行a⊥α,b⊥α?a//b
(4)证明线面垂直的方法
定义法(反证)
判定定理(常用)
a//ba⊥α?b⊥α
α//βa⊥α?a⊥β
α⊥βa∩β=ba?αa⊥b?a⊥β(面面垂直?线面垂直)
③线面所成的角
(1)定义
如下图，平面的一条斜线(直线l)和它在平面上的射影(AO)所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
一条直线垂直平面，则θ=90°；一条直线和平面平行或在平面内，则θ=0°.
(2)范围
直线和平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.
2面面垂直
①二面角
(1)定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
在二面角的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
(2)范围
二面角的平面角α的取值范围是[0°,180°].
②面面垂直
(1)定义
若二面角α?l?β的平面角为90°，则α⊥β；
(2)判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
a?αa⊥β?α⊥β(线面垂直?面面垂直)
(3)性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
α⊥βα∩β=ABa?αa⊥AB?a⊥β(面面垂直?线面垂直)
判断
(1)如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ(√)
(2)如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β(√)
(3)如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β(×)
(4)如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β(√)
【题型一】线面垂直的判定与性质
【典题1】如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F是BE的中点，求证:(1)FD∥平面ABC；(2)AF⊥平面EDB
【典题2】P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影．
(1)若PA、PB、PC两两互相垂直，则O点是△ABC的心；
(2)若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC内部，则点O是△ABC的心；
(3)若PA⊥BC,PB⊥AC,PC⊥AB，则点O是△ABC的心；
(4)若PA、PB、PC与底面ABC成等角，则点O是△ABC的心．
【典题3】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，在折起过程中，有几个正确( )
①ED⊥平面ACD②CD⊥平面BED③BD⊥平面ACD④AD⊥平面BED．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型二】面面垂直的判定与性质
【典题1】如图，已知四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD
【典题2】如图，直角△ABC中，∠ACB=90°，BC=2AC=4，D、E分别是AB、BC边的中点，沿DE将△BDE折起至△FDE，且∠CEF=60°．
(Ⅰ)求四棱锥F－ADEC的体积；(Ⅱ)求证:平面ADF⊥平面ACF．
【典题3】长方形ABCD中，AB=2，BC=1，F是线段DC上一动点，且0
A．43B．34C．13D．14
巩固练习
1(★★)如图：PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论①AE⊥BC，②AE⊥PB，③AF⊥BC，④AE⊥平面PBC，其中正确命题的序号是( )
A．①②B．①③C．①②④D．①③④
2(★★)PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB,PC,PD,AC,BD，则下列垂直关系正确的是（ ）
①面PAB⊥面PBC②面PAB⊥面PAD③面PAB⊥面PCD④面PAB⊥面PAC．
A．①②B．①③C．②③D．②④
3(★★)已知边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，现将△AED沿DE翻折为△A'ED，如图是翻折过程中的一个图形，则下列四个结论：
①动直线A'F与直线DE互相垂直；②恒有平面A'GF⊥平面BCED；
③四棱锥A'－BCED的体积有最大值；④三棱锥A'－DEF的侧面积没有最大值．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4(★★)如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A,B是定点，则动点C的轨迹是( )
A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点
5(★★)如图，已知平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA?β，C...
