专题 立体几何之所成角-新教材人教A版必修第二册练习 (教师版) 人教版
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立体几何之所成角
1异面直线所成的角
①范围(0°,90°]；
②作异面直线所成的角：平移法.
如图,在空间任取一点O,过O作a'//a,b'//b,则a',b'所成的θ角为异面直线a,b所成的角.特别地,找异面直线所成的角时,经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点,端点等)上,形成异面直线所成的角.
2线面所成的角
①定义如下图，平面的一条斜线(直线l)和它在平面上的射影(AO)所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
一条直线垂直平面，则θ=90°；一条直线和平面平行或在平面内，则θ=0°.
②范围[0°,90°]
3二面角
①定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
在二面角的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
②范围[0°,180°].
【题型一】异面直线所成的角
【典题1】如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E,F分别是AA1,AD的中点，则CD1与EF所成角为( )
A．0°B．45°C．60°D．90°
【解析】连结A1D、BD、A1B,
∵正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E,F分别是AA1,AD的中点，EF∥A1D,
∵A1B∥D1C,∴∠DA1B是CD1与EF所成角,
∵A1D=A1B=BD,∴∠DA1B=60°．∴CD1与EF所成角为60°．
故选C．
【点拨】
①找异面直线所成的角,主要是把两条异面直线通过平移使得它们共面,可平移一条直线也可以同时平移两条直线；
②平移时常利用中位线、平行四边形的性质；
【典题2】如图所示,在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E、F分别是CC1,AD的中点,那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于．
【解析】取BC的中点G．连接GC1,则GC1∥FD1,再取GC的中点H,连接HE、OH,则
∵E是CC1的中点,∴GC1∥EH,∴∠OEH为异面直线所成的角．
在△OEH中,OE=3,HE=52,OH=52．
由余弦定理,可得cos∠OEH=OE2+EH2?OH22OE?EH=32?3?52=155．
故答案为155
【点拨】
本题利用平移法找到异面直线所成的角(∠OEH)后,确定含有该角的三角形(△OEH),利用解三角形的方法(正弦定理,余弦定理等)把所求角∠OEH最终求出来.
【典题3】如图,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)若MN=BC=4,PA=43,求异面直线PA与MN所成的角的大小．
【解析】(1)证明：取PD中点Q,连AQ、QN,
则AM∥QN,且AM=QN,
∴四边形AMNQ为平行四边形
∴MN∥AQ
又∵AQ在平面PAD内,MN不在平面PAD内
∴MN∥面PAD；
(2)解
方法一∵MN∥AQ
∴∠PAQ即为异面直线PA与MN所成的角
∵MN=BC=4,PA=43,
∴AQ=4,
设PQ=x,根据余弦定理可知cos∠AQD+cos∠AQP=0
即16+x2?488x+16+x2?168x=0,解得x=4
在三角形AQP中,AQ=PQ=4,AP=43
∴cos∠PAQ=48+16?162×4×43=32,即∠PAQ=30°
∴异面直线PA与MN所成的角的大小为30°
方法二过点A作AH⊥PD交PD于H,如图
∵MN=BC=4,∴H是QD的中点
设HD=x,则QH=x,PQ=2x,
在Rt△AQD和Rt△APH
利用勾股定理可得AH2=16?x2=48?9x2,解得x=2
∴cos∠PAQ=PHAP=643=32,即∠PAQ=30°
∴异面直线PA与MN所成的角的大小为30°
【点拨】
本题中所成角∠PAQ找到后,无法在一个三角形里求出,此时把问题转化为平面几何问题,
再利用解三角形的方法进行求解.
【题型二】线面所成的角
【典题1】如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC,EA⊥EB．
(1)求证：AB⊥DE；
(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值．
【解析】(1)证明：取AB中点O,连接EO,DO．
∵EB=EA,∴EO⊥AB．
∵四边形ABCD为直角梯形,AB=2CD=2BC,AB⊥BC,
∴四边形OBCD为正方形,∴AB⊥OD．
又∵EO∩OD=O,∴AB⊥平面EOD．
∴AB⊥ED．
(2)∵平面ABE⊥平面ABCD,且AB⊥BC,
∴BC⊥平面ABE．
则∠CEB为直线EC与平面ABE所成的角．
设BC=a,则AB=2a,BE=2a,∴CE=3a,
在直角三角形CBE中,sin∠CEB=CBCE=13=33．
即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为33．
【点拨】
本题中的“直线EC与平面ABE所成的角”是根据线面角的定义直接在题目原图上找到的,在含所求角∠CEB的直角三角形CBE中求出角度！
【典题2】如图,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,且AB=4,PA=3,点A在PD上的射影为G点,E点在AB边上,平面PEC⊥平面PDC．
(1)求证：AG∥平面PEC；
(2)求BE的长；
(3)求直线AG与平面PCA所成角的余弦值．
【解析】(1)证明：∵CD⊥AD,CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AG,
又PD⊥AG
∴AG⊥平面PCD
作EF⊥PC于F,因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD
∴EF∥AG,又AG?面PEC,EF?面PEC,
∴AG∥平面PEC
(2)由(1)知A、E、F、G四点共面,又AE∥CD∴AE∥平面PCD
∴AE∥GF∴四边形AEFG为平行四边形,∴AE=GF
∵PA=3,AD=AB=4∴PD=5,AG=125,
在Rt△PAGP中,PG2=PA2?AG2=8125∴PG=95
又GFCD=PGPD∴GF=3625
∴AE=3625,故BE=6425
(3)∵EF∥AG,所以AG与平面PAC所成角等于EF与平面PAC所成的角,
过E作EO⊥AC于O点,易知EO⊥平面PAC,又EF⊥PC,
∴OF是EF在平面PAC内的射影
∴∠EFO即为EF与平面PAC所成的角
EO=AEsin45°=3625×22=18225,又EF=AG=125,
∴sin∠EFO=EOEF=18225×512=3210
故cos∠EFO=1?sin2∠EFO=8210
所以AG与平面PAC所成角的余弦值等于8210.
【点拨】
①若在题目中不能直接找到所求线面角,则可用“作高法”确定所求角,
...
1异面直线所成的角
①范围(0°,90°]；
②作异面直线所成的角：平移法.
如图,在空间任取一点O,过O作a'//a,b'//b,则a',b'所成的θ角为异面直线a,b所成的角.特别地,找异面直线所成的角时,经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点,端点等)上,形成异面直线所成的角.
2线面所成的角
①定义如下图，平面的一条斜线(直线l)和它在平面上的射影(AO)所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
一条直线垂直平面，则θ=90°；一条直线和平面平行或在平面内，则θ=0°.
②范围[0°,90°]
3二面角
①定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
在二面角的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
②范围[0°,180°].
【题型一】异面直线所成的角
【典题1】如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E,F分别是AA1,AD的中点，则CD1与EF所成角为( )
A．0°B．45°C．60°D．90°
【解析】连结A1D、BD、A1B,
∵正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E,F分别是AA1,AD的中点，EF∥A1D,
∵A1B∥D1C,∴∠DA1B是CD1与EF所成角,
∵A1D=A1B=BD,∴∠DA1B=60°．∴CD1与EF所成角为60°．
故选C．
【点拨】
①找异面直线所成的角,主要是把两条异面直线通过平移使得它们共面,可平移一条直线也可以同时平移两条直线；
②平移时常利用中位线、平行四边形的性质；
【典题2】如图所示,在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E、F分别是CC1,AD的中点,那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于．
【解析】取BC的中点G．连接GC1,则GC1∥FD1,再取GC的中点H,连接HE、OH,则
∵E是CC1的中点,∴GC1∥EH,∴∠OEH为异面直线所成的角．
在△OEH中,OE=3,HE=52,OH=52．
由余弦定理,可得cos∠OEH=OE2+EH2?OH22OE?EH=32?3?52=155．
故答案为155
【点拨】
本题利用平移法找到异面直线所成的角(∠OEH)后,确定含有该角的三角形(△OEH),利用解三角形的方法(正弦定理,余弦定理等)把所求角∠OEH最终求出来.
【典题3】如图,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)若MN=BC=4,PA=43,求异面直线PA与MN所成的角的大小．
【解析】(1)证明：取PD中点Q,连AQ、QN,
则AM∥QN,且AM=QN,
∴四边形AMNQ为平行四边形
∴MN∥AQ
又∵AQ在平面PAD内,MN不在平面PAD内
∴MN∥面PAD；
(2)解
方法一∵MN∥AQ
∴∠PAQ即为异面直线PA与MN所成的角
∵MN=BC=4,PA=43,
∴AQ=4,
设PQ=x,根据余弦定理可知cos∠AQD+cos∠AQP=0
即16+x2?488x+16+x2?168x=0,解得x=4
在三角形AQP中,AQ=PQ=4,AP=43
∴cos∠PAQ=48+16?162×4×43=32,即∠PAQ=30°
∴异面直线PA与MN所成的角的大小为30°
方法二过点A作AH⊥PD交PD于H,如图
∵MN=BC=4,∴H是QD的中点
设HD=x,则QH=x,PQ=2x,
在Rt△AQD和Rt△APH
利用勾股定理可得AH2=16?x2=48?9x2,解得x=2
∴cos∠PAQ=PHAP=643=32,即∠PAQ=30°
∴异面直线PA与MN所成的角的大小为30°
【点拨】
本题中所成角∠PAQ找到后,无法在一个三角形里求出,此时把问题转化为平面几何问题,
再利用解三角形的方法进行求解.
【题型二】线面所成的角
【典题1】如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC,EA⊥EB．
(1)求证：AB⊥DE；
(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值．
【解析】(1)证明：取AB中点O,连接EO,DO．
∵EB=EA,∴EO⊥AB．
∵四边形ABCD为直角梯形,AB=2CD=2BC,AB⊥BC,
∴四边形OBCD为正方形,∴AB⊥OD．
又∵EO∩OD=O,∴AB⊥平面EOD．
∴AB⊥ED．
(2)∵平面ABE⊥平面ABCD,且AB⊥BC,
∴BC⊥平面ABE．
则∠CEB为直线EC与平面ABE所成的角．
设BC=a,则AB=2a,BE=2a,∴CE=3a,
在直角三角形CBE中,sin∠CEB=CBCE=13=33．
即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为33．
【点拨】
本题中的“直线EC与平面ABE所成的角”是根据线面角的定义直接在题目原图上找到的,在含所求角∠CEB的直角三角形CBE中求出角度！
【典题2】如图,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,且AB=4,PA=3,点A在PD上的射影为G点,E点在AB边上,平面PEC⊥平面PDC．
(1)求证：AG∥平面PEC；
(2)求BE的长；
(3)求直线AG与平面PCA所成角的余弦值．
【解析】(1)证明：∵CD⊥AD,CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AG,
又PD⊥AG
∴AG⊥平面PCD
作EF⊥PC于F,因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD
∴EF∥AG,又AG?面PEC,EF?面PEC,
∴AG∥平面PEC
(2)由(1)知A、E、F、G四点共面,又AE∥CD∴AE∥平面PCD
∴AE∥GF∴四边形AEFG为平行四边形,∴AE=GF
∵PA=3,AD=AB=4∴PD=5,AG=125,
在Rt△PAGP中,PG2=PA2?AG2=8125∴PG=95
又GFCD=PGPD∴GF=3625
∴AE=3625,故BE=6425
(3)∵EF∥AG,所以AG与平面PAC所成角等于EF与平面PAC所成的角,
过E作EO⊥AC于O点,易知EO⊥平面PAC,又EF⊥PC,
∴OF是EF在平面PAC内的射影
∴∠EFO即为EF与平面PAC所成的角
EO=AEsin45°=3625×22=18225,又EF=AG=125,
∴sin∠EFO=EOEF=18225×512=3210
故cos∠EFO=1?sin2∠EFO=8210
所以AG与平面PAC所成角的余弦值等于8210.
【点拨】
①若在题目中不能直接找到所求线面角,则可用“作高法”确定所求角,
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