专题 立体几何之所成角-新教材人教A版必修第二册练习(学生版) 人教版
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立体几何之所成角
1异面直线所成的角
①范围(0°，90°]；
②作异面直线所成的角：平移法.
如图，在空间任取一点O，过O作a'//a，b'//b，则a'，b'所成的θ角为异面直线a，b所成的角.特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点，端点等)上，形成异面直线所成的角.
2线面所成的角
①定义如下图，平面的一条斜线(直线l)和它在平面上的射影(AO)所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
一条直线垂直平面，则θ=90°；一条直线和平面平行或在平面内，则θ=0°.
②范围[0°，90°]
3二面角
①定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
在二面角的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
②范围[0°，180°].
【题型一】异面直线所成的角
【典题1】如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为( )
A．0°B．45°C．60°D．90°
【典题2】如图所示，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于．
【典题3】如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)若MN=BC=4，PA=43，求异面直线PA与MN所成的角的大小．
【题型二】线面所成的角
【典题1】如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，
AB=2CD=2BC，EA⊥EB．
(1)求证：AB⊥DE；
(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值．
【典题2】如图，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且AB=4，PA=3，点A在PD上的射影为G点，E点在AB边上，平面PEC⊥平面PDC．
(1)求证：AG∥平面PEC；(2)求BE的长；(3)求直线AG与平面PCA所成角的余弦值．
【典题3】如图，正四棱锥S－ABCD中，SA=AB=2，E，F，G分别为BC，SC，CD的中点．设P为线段FG上任意一点．
(Ⅰ)求证：EP⊥AC；
(Ⅱ)当P为线段FG的中点时，求直线BP与平面EFG所成角的余弦值．
【题型三】二面角
【典题1】如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD相交于点O．
求二面角A1－BD－A的正切值．
【典题2】如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=6，点E是棱PB的中点．
(1)求直线AD与平面PBC的距离；
(2)若AD=3，求二面角A－EC－D的平面角的余弦值．
【典题3】如图，已知三棱锥P－ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC，M为PB的中点．
(1)求证：PC⊥BC．(2)求二面角M－AC－B的大小．
1(★)在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，点P在线段AD'上运动，则异面直线CP与BA'所成的角θ的取值范围是( )
A．0<θ<π2B．0<θ≤π2C．0≤θ≤π3D．0<θ≤π3
2(★★)如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体．O1，O2，O2'分别为AB，BC，DE的中点，F为弧AB的中点，G为弧BC的中点．则异面直线AF与GO2'所成的角的余弦值为．
3(★★)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．
(1)求证：AD1⊥平面A1DC；
(2)求MN与平面ABCD所成的角．
4(★★★)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE，AB的中点．
(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．
5(★★★)四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，PA=AD=2，E为AD的中点．
(1)求证：平面PCE⊥平面PAD；
(2)求PC与平面PAD所成的角的正切值；
(3)求二面角A－PD－C的正弦值．
6(★★★)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．
(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l平面PAC的位置关系，并加以证明；
(2)设PC=2AB=4，求二面角E－l－C大小的取值范围．
1异面直线所成的角
①范围(0°，90°]；
②作异面直线所成的角：平移法.
如图，在空间任取一点O，过O作a'//a，b'//b，则a'，b'所成的θ角为异面直线a，b所成的角.特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点，端点等)上，形成异面直线所成的角.
2线面所成的角
①定义如下图，平面的一条斜线(直线l)和它在平面上的射影(AO)所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
一条直线垂直平面，则θ=90°；一条直线和平面平行或在平面内，则θ=0°.
②范围[0°，90°]
3二面角
①定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
在二面角的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
②范围[0°，180°].
【题型一】异面直线所成的角
【典题1】如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为( )
A．0°B．45°C．60°D．90°
【典题2】如图所示，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于．
【典题3】如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)若MN=BC=4，PA=43，求异面直线PA与MN所成的角的大小．
【题型二】线面所成的角
【典题1】如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，
AB=2CD=2BC，EA⊥EB．
(1)求证：AB⊥DE；
(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值．
【典题2】如图，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且AB=4，PA=3，点A在PD上的射影为G点，E点在AB边上，平面PEC⊥平面PDC．
(1)求证：AG∥平面PEC；(2)求BE的长；(3)求直线AG与平面PCA所成角的余弦值．
【典题3】如图，正四棱锥S－ABCD中，SA=AB=2，E，F，G分别为BC，SC，CD的中点．设P为线段FG上任意一点．
(Ⅰ)求证：EP⊥AC；
(Ⅱ)当P为线段FG的中点时，求直线BP与平面EFG所成角的余弦值．
【题型三】二面角
【典题1】如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD相交于点O．
求二面角A1－BD－A的正切值．
【典题2】如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=6，点E是棱PB的中点．
(1)求直线AD与平面PBC的距离；
(2)若AD=3，求二面角A－EC－D的平面角的余弦值．
【典题3】如图，已知三棱锥P－ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC，M为PB的中点．
(1)求证：PC⊥BC．(2)求二面角M－AC－B的大小．
1(★)在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，点P在线段AD'上运动，则异面直线CP与BA'所成的角θ的取值范围是( )
A．0<θ<π2B．0<θ≤π2C．0≤θ≤π3D．0<θ≤π3
2(★★)如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体．O1，O2，O2'分别为AB，BC，DE的中点，F为弧AB的中点，G为弧BC的中点．则异面直线AF与GO2'所成的角的余弦值为．
3(★★)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．
(1)求证：AD1⊥平面A1DC；
(2)求MN与平面ABCD所成的角．
4(★★★)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE，AB的中点．
(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．
5(★★★)四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，PA=AD=2，E为AD的中点．
(1)求证：平面PCE⊥平面PAD；
(2)求PC与平面PAD所成的角的正切值；
(3)求二面角A－PD－C的正弦值．
6(★★★)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．
(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l平面PAC的位置关系，并加以证明；
(2)设PC=2AB=4，求二面角E－l－C大小的取值范围．
