山西省太原市2024-2025学年高三数学下学期3月月考 人教版
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文件简介::
一、单选题
1.设全集，则图中阴影部分表示的集合是（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断表示的集合怎么表示，再利用交集和并集的定义求解即可.
【详解】因为，所以，
因为，所以，，
而阴影部分表示的集合是，
则图中阴影部分表示的集合是，故B正确.
故选：B
2.复数的共轭复数为（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算结合共轭复数的概念可得结果.
【详解】由题意得，，
∴.
故选：B.
3.已知向量，，，若，则（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据平面向量的坐标化运算和垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】∵向量，，，∴，
∵，∴，即得，解得，
故选：C．
4.已知函数为奇函数且，则（）
A.0B.1C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质求出，再求出函数值.
【详解】函数为奇函数且，则，解得，
于是，所以.
故选：A
5.已知抛物线的弦的中点横坐标为5，则的最大值为（）
A.12B.11C.10D.9
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线定义，可得，数形结合可得，得解.
【详解】设抛物线的焦点为，，的横坐标分别为，，则，
抛物线的准线为，则，，
，
（当且仅当，，共线时取等号）如图所示，
即的最大值为12.
故选：A.
6.某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为，高为16cm，母线长为20cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂料，则共需涂料（）
A.克B.克C.克D.克
【答案】C
【解析】
【分析】先求圆台的底面半径，计算圆台的侧面积，即可得到答案.
【详解】作圆台的轴截面如图：
梯形为等腰梯形，取上、下底面的中心分别为、，再取中点，连接，
则中，因为，所以，，所以.
所以
所以灯罩的侧面积为：.
所以100个灯罩的外表面面积为：.
又每平方米需要100克涂料，所以共需涂料克.
故选：C
7.若数列满足，则一定等于（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】证明，求出数列的周期即可求解.
【详解】由得，
所以，于是数列的周期为4，
所以
故选：D.
8.若函数，满足．若函数存在零点，则（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可．
【详解】函数的定义域为，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上单调递增，
因为，所以，
又因为，则或，
若，由零点存在性定理；
若，而，则，由零点存在性定理，
综上所述，则C一定正确.
故选：C
二、多选题
9.下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是（）
A.超过的大学生更爱使用购物类APP
B.超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要
C.使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是
D.APP使用目的中6个占比数字的分位数是
【答案】AC
【解析】
【分析】选项A和B，根据图表中数据，即可判断出正误；选项C，根据图表中数据，利用极差的定义，即可求解；选项D，将占比数字从小到大排列，再利用百分位数的求法，即可求解.
【详解】对于选项A，根据图表知，大学生使用购物类APP占比为，所以选项A正确，
对于选项B，根据图表知，大学生使用APP是为了学习与生活需要的占比为，所以选项B错误，
对于选项C，根据图表知，使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是，所以选项C正确，
对于选项D，根据图表知，APP使用目的中6个占比数字从小排到大分别为，
又，所以分位数是，故选项D错误.
故选：AC.
10.在正方体中，点为棱中点，则（）
A.过有且只有一条直线与直线和都相交
B.过有且只有一条直线与直线和都垂直
C.过有且只有一个平面与直线和都平行
D.过有且只有一个平面与直线和所成角相等
【答案】ABC
【解析】
【分析】选项A，由题意满足条件的直线是平面与平面的交线，选项B，由线线平行的性质结合异面直线成角的概念可判断；从而可判断；选项C，由线面平行的判定定理可判断；选项D，利用空间向量法可判断.
【详解】如下图所示：
对于A选项，过点与直线相交的直线必在平面内，
过点与直线相交的直线必在平面内，故满足条件的直线必为两平面的交线，显然两平面有唯一交线，A正确；
对于B选项，因为，若，则，若，则平面，
显然满足条件的直线唯一，即，B正确；
对于C选项，分别取、的中点、，连接、，
因为，，、分别为、的中点，
所以，，则四边形为平行四边形，
所以，又因为，则，
因为平面，平面，所以平面，
同理可证平面，
所以过有且只有一个平面与直线和都平行，C正确；
对于D选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为，则、、、，
，，
设满足题设条件的平面的法向量为，其中，
由题意可得，可得，即，
所以，以或为法向量且过点的平面均满足题意，
故过有无数个平面与直线和所成角相等，D错.
故选：ABC
11.已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（）
A.
B.将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集
C....
1.设全集，则图中阴影部分表示的集合是（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断表示的集合怎么表示，再利用交集和并集的定义求解即可.
【详解】因为，所以，
因为，所以，，
而阴影部分表示的集合是，
则图中阴影部分表示的集合是，故B正确.
故选：B
2.复数的共轭复数为（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算结合共轭复数的概念可得结果.
【详解】由题意得，，
∴.
故选：B.
3.已知向量，，，若，则（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据平面向量的坐标化运算和垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】∵向量，，，∴，
∵，∴，即得，解得，
故选：C．
4.已知函数为奇函数且，则（）
A.0B.1C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质求出，再求出函数值.
【详解】函数为奇函数且，则，解得，
于是，所以.
故选：A
5.已知抛物线的弦的中点横坐标为5，则的最大值为（）
A.12B.11C.10D.9
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线定义，可得，数形结合可得，得解.
【详解】设抛物线的焦点为，，的横坐标分别为，，则，
抛物线的准线为，则，，
，
（当且仅当，，共线时取等号）如图所示，
即的最大值为12.
故选：A.
6.某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为，高为16cm，母线长为20cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂料，则共需涂料（）
A.克B.克C.克D.克
【答案】C
【解析】
【分析】先求圆台的底面半径，计算圆台的侧面积，即可得到答案.
【详解】作圆台的轴截面如图：
梯形为等腰梯形，取上、下底面的中心分别为、，再取中点，连接，
则中，因为，所以，，所以.
所以
所以灯罩的侧面积为：.
所以100个灯罩的外表面面积为：.
又每平方米需要100克涂料，所以共需涂料克.
故选：C
7.若数列满足，则一定等于（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】证明，求出数列的周期即可求解.
【详解】由得，
所以，于是数列的周期为4，
所以
故选：D.
8.若函数，满足．若函数存在零点，则（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可．
【详解】函数的定义域为，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上单调递增，
因为，所以，
又因为，则或，
若，由零点存在性定理；
若，而，则，由零点存在性定理，
综上所述，则C一定正确.
故选：C
二、多选题
9.下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是（）
A.超过的大学生更爱使用购物类APP
B.超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要
C.使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是
D.APP使用目的中6个占比数字的分位数是
【答案】AC
【解析】
【分析】选项A和B，根据图表中数据，即可判断出正误；选项C，根据图表中数据，利用极差的定义，即可求解；选项D，将占比数字从小到大排列，再利用百分位数的求法，即可求解.
【详解】对于选项A，根据图表知，大学生使用购物类APP占比为，所以选项A正确，
对于选项B，根据图表知，大学生使用APP是为了学习与生活需要的占比为，所以选项B错误，
对于选项C，根据图表知，使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是，所以选项C正确，
对于选项D，根据图表知，APP使用目的中6个占比数字从小排到大分别为，
又，所以分位数是，故选项D错误.
故选：AC.
10.在正方体中，点为棱中点，则（）
A.过有且只有一条直线与直线和都相交
B.过有且只有一条直线与直线和都垂直
C.过有且只有一个平面与直线和都平行
D.过有且只有一个平面与直线和所成角相等
【答案】ABC
【解析】
【分析】选项A，由题意满足条件的直线是平面与平面的交线，选项B，由线线平行的性质结合异面直线成角的概念可判断；从而可判断；选项C，由线面平行的判定定理可判断；选项D，利用空间向量法可判断.
【详解】如下图所示：
对于A选项，过点与直线相交的直线必在平面内，
过点与直线相交的直线必在平面内，故满足条件的直线必为两平面的交线，显然两平面有唯一交线，A正确；
对于B选项，因为，若，则，若，则平面，
显然满足条件的直线唯一，即，B正确；
对于C选项，分别取、的中点、，连接、，
因为，，、分别为、的中点，
所以，，则四边形为平行四边形，
所以，又因为，则，
因为平面，平面，所以平面，
同理可证平面，
所以过有且只有一个平面与直线和都平行，C正确；
对于D选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为，则、、、，
，，
设满足题设条件的平面的法向量为，其中，
由题意可得，可得，即，
所以，以或为法向量且过点的平面均满足题意，
故过有无数个平面与直线和所成角相等，D错.
故选：ABC
11.已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（）
A.
B.将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集
C....
