四川省自贡市2024-2025学年高二数学上学期10月月考试题含解析 人教版
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高2026届高二数学上学期10月月考试题
一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1.如图所示,直线的斜率分别为,则
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】设直线所对应的倾斜角为，由图可知，，由直线的倾斜角与斜率的关系可得，得解.
【详解】解：由图可知,直线的倾斜角为锐角,所以,而直线与的倾斜角均为钝角,且的倾斜角小于的倾斜角,故.所以.
故选B.
【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，重点考查了识图能力，属基础题.
2.已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（）
A.B.C.D.4
【答案】C
【解析】
【分析】根据，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果.
【详解】由题意可得，
.
故选：C
3.已知直线，且，则实数a的值为（）
A.5B.1C.5或D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，列出方程求解，再验证判断作答.
【详解】直线，，由解得或，
当时，直线与重合，不符合题意，
当时，直线与平行，
所以实数a的值为.
故选：D
4.“直线与互相垂直”是“”的（）
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由两直线互相垂直，知，由此能求出实数的值，再利用充分必要条件的定义判断得解.
详解】解：直线与互相垂直，
，
解得或．
因为或时，不一定成立，
因为时，或一定成立.
“直线与互相垂直”是“”的必要不充分条件.
故选：A
5.如图，在四面体中，是中点，，设，则（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】由空间向量的线性运算求解.
【详解】
故选：B
6.已知是空间的一个基底，则下列说法错误的是（）
A.若，则
B两两共面，但不共面
C.一定存在x，y，使得
D.一定能构成空间的一个基底
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的线性关系、向量的基底的定义和空间向量基本定理，即可求解．
【详解】对于A，若不全为0，则共面，与题意矛盾，故A正确；
对于B，是空间的一个基底,则两两共面，但不共面，故B正确；
对于C，不共面，则不存在实数，使得，故C错误；
对于D，若共面，，无解，
故不共面，一定能构成空间的一个基底，故D正确
故选∶C．
7.已知空间直角坐标系中的三点，，，则点A到直线的距离为（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】由点A到直线的距离,向量在向量上的投影及勾股定理即可求.
【详解】已知，，，
所以，，
点A到直线的距离为.
故选：C.
8.已知点，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出直线的斜率，结合图形得出的范围．
【详解】直线过定点，且，
由图可知直线与线段没有交点时，斜率满足，
解得，
故选：B．
二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9.已知正方体的棱长为1，则（）
A.直线与直线所成的角为
B.平面
C.点到平面的距离为
D.直线与平面所成角的余弦值为
【答案】BD
【解析】
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标得到，即可判断选项A；利用向量法证明，即可判断选项B；利用向量法求出点到平面的距离即可判断选项C；利用向量法求出直线与平面所成角的余弦值即可判断选项D.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：.
A：，因为，所以，因此选项A不正确；
B：，所以，
所以，而，平面ACD1，因此平面，所以选项正确；
C：因为平面，所以是平面的法向量，，
所以点到平面的距离为，因此选项C不正确；
：设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的余弦值，因此选项D正确.
故选：BD
10.下列说法正确的是（）
A.直线必过定点
B.直线在轴上的截距为
C.直线的倾斜角为60°
D.过点且垂直于直线的直线方程为
【答案】ABD
【解析】
【分析】将方程化为点斜式，即可判断A；令，得出在轴上的截距，进而判断B；将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断C；由两直线垂直得出斜率，最后由点斜式得出方程，进而判断D.
【详解】可化为，则直线必过定点，故A正确；
令，则，即直线在轴上的截距为，故B正确；
可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故C错误；
设过点且垂直于直线的直线的斜率为
因为直线的斜率为，所以，解得
则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查了求直线过定点，求直线的倾斜角，由两直线垂直求直线方程，属于中档题.
11.给出以下命题，其中错误的是（）
A.平面的法向量分别为，则
B.直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C.直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
D.平面经过三个点，向量是平面的法向量，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据平面的法向量不具有倍数关系可判断A；根据直线的方向向量和平面的法向量的数量积可安短B；根据直线的方向向量的数量积判断C；根据平面的法向量的求法可判断D.
【详解】对于A，由可知两向量不具有倍数关系，故不平行，A错误；
对于B，由于，，则，
故，则或，B错误；
对于C，由于，即得，C正确；
对于D，由于，故，
向量是平面的法向量，则，解得，
故，D错误，
故选：ABD
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分
12.已知空间向量，则___________.
【答案】
【解...
一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1.如图所示,直线的斜率分别为,则
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】设直线所对应的倾斜角为，由图可知，，由直线的倾斜角与斜率的关系可得，得解.
【详解】解：由图可知,直线的倾斜角为锐角,所以,而直线与的倾斜角均为钝角,且的倾斜角小于的倾斜角,故.所以.
故选B.
【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，重点考查了识图能力，属基础题.
2.已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（）
A.B.C.D.4
【答案】C
【解析】
【分析】根据，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果.
【详解】由题意可得，
.
故选：C
3.已知直线，且，则实数a的值为（）
A.5B.1C.5或D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，列出方程求解，再验证判断作答.
【详解】直线，，由解得或，
当时，直线与重合，不符合题意，
当时，直线与平行，
所以实数a的值为.
故选：D
4.“直线与互相垂直”是“”的（）
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由两直线互相垂直，知，由此能求出实数的值，再利用充分必要条件的定义判断得解.
详解】解：直线与互相垂直，
，
解得或．
因为或时，不一定成立，
因为时，或一定成立.
“直线与互相垂直”是“”的必要不充分条件.
故选：A
5.如图，在四面体中，是中点，，设，则（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】由空间向量的线性运算求解.
【详解】
故选：B
6.已知是空间的一个基底，则下列说法错误的是（）
A.若，则
B两两共面，但不共面
C.一定存在x，y，使得
D.一定能构成空间的一个基底
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的线性关系、向量的基底的定义和空间向量基本定理，即可求解．
【详解】对于A，若不全为0，则共面，与题意矛盾，故A正确；
对于B，是空间的一个基底,则两两共面，但不共面，故B正确；
对于C，不共面，则不存在实数，使得，故C错误；
对于D，若共面，，无解，
故不共面，一定能构成空间的一个基底，故D正确
故选∶C．
7.已知空间直角坐标系中的三点，，，则点A到直线的距离为（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】由点A到直线的距离,向量在向量上的投影及勾股定理即可求.
【详解】已知，，，
所以，，
点A到直线的距离为.
故选：C.
8.已知点，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出直线的斜率，结合图形得出的范围．
【详解】直线过定点，且，
由图可知直线与线段没有交点时，斜率满足，
解得，
故选：B．
二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9.已知正方体的棱长为1，则（）
A.直线与直线所成的角为
B.平面
C.点到平面的距离为
D.直线与平面所成角的余弦值为
【答案】BD
【解析】
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标得到，即可判断选项A；利用向量法证明，即可判断选项B；利用向量法求出点到平面的距离即可判断选项C；利用向量法求出直线与平面所成角的余弦值即可判断选项D.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：.
A：，因为，所以，因此选项A不正确；
B：，所以，
所以，而，平面ACD1，因此平面，所以选项正确；
C：因为平面，所以是平面的法向量，，
所以点到平面的距离为，因此选项C不正确；
：设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的余弦值，因此选项D正确.
故选：BD
10.下列说法正确的是（）
A.直线必过定点
B.直线在轴上的截距为
C.直线的倾斜角为60°
D.过点且垂直于直线的直线方程为
【答案】ABD
【解析】
【分析】将方程化为点斜式，即可判断A；令，得出在轴上的截距，进而判断B；将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断C；由两直线垂直得出斜率，最后由点斜式得出方程，进而判断D.
【详解】可化为，则直线必过定点，故A正确；
令，则，即直线在轴上的截距为，故B正确；
可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故C错误；
设过点且垂直于直线的直线的斜率为
因为直线的斜率为，所以，解得
则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查了求直线过定点，求直线的倾斜角，由两直线垂直求直线方程，属于中档题.
11.给出以下命题，其中错误的是（）
A.平面的法向量分别为，则
B.直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C.直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
D.平面经过三个点，向量是平面的法向量，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据平面的法向量不具有倍数关系可判断A；根据直线的方向向量和平面的法向量的数量积可安短B；根据直线的方向向量的数量积判断C；根据平面的法向量的求法可判断D.
【详解】对于A，由可知两向量不具有倍数关系，故不平行，A错误；
对于B，由于，，则，
故，则或，B错误；
对于C，由于，即得，C正确；
对于D，由于，故，
向量是平面的法向量，则，解得，
故，D错误，
故选：ABD
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分
12.已知空间向量，则___________.
【答案】
【解...
